Vectores

Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

1Dirección de un vector: La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

2Sentido de un vector: El sentido del vector  es el que va desde el origen A al extremo B.

3Módulo de un vector:

El módulo del vector  es la longitud del segmento AB, se representa por .

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

3.1. Módulo de un vector a partir de sus componentes:

3.2. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos:

4Coordenadas de un vector:

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Clases de vectores

1 Vectores equipolentes:

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

2 Vectores libres:

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cadavector fijo es un representante del vector libre.

3 Vectores fijos:

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

4 Vectores ligados:

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

5 Vectores opuestos:

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

6 Vectores unitarios:

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

7 Vectores concurrentes:

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

8 Vectores de posición:

El vector  que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

9 Vectores linealmente dependientes:

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe unacombinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos loscoeficientes de la combinación lineal.

10 Vectores linealmente independientes:

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a₁ = a₂ = ··· = a_n = 0

11 Vectores ortogonales:

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

12 Vectores ortonormales:

 

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

TOMADO DE http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html

SIGUE:

http://www.fisic.ch/cursos/segundo-medio/vectores/

Vectores libres

Existen magnitudes físicas cuya descripción no requiere precisar un punto de aplicación, ni siquiera una recta soporte, pues para cualquier punto de aplicación en todo el espacio, sus consecuencias físicas son las mismas.

Un ejemplo lo tenemos en la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido.

3 Operaciones básicas con vectores libres

3.1 Equivalencia de vectores

Dos vectores geométricos libres son equivalentes cuando poseen el mismo módulo, dirección y sentido.

3.2 Suma de vectores

Los vectores libres forman parte de un espacio vectorial, por lo que admiten la definición de las operaciones suma y producto por un escalar con una serie de propiedades algebraicas (definición algebraica de vector).

La suma de vectores libres,

se define gráficamente de dos formas equivalentes:

• Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).
• Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (regla del triángulo).

Regla del paralelogramo	Regla del triángulo

Nótese que ambas definiciones requieren que los vectores sean libres, para que sus orígenes puedan trasladarse sin restricción.

La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.

        

La operación suma, junto a la existencia de elemento opuesto, permite definir la resta o diferencia de vectores:

En particular, para los vectores de posición, dados dos puntos P y Q, la posición relativa de Q respecto a P es

o, equivalentemente, el vector que va de O a Q es la suma vectorial del que va de O a P más el que va de P a Q:

3.3 Producto por un escalar

El producto de un vector libre, , por un escalar, λ (número real), se define como un nuevo vector libre, , cuyo módulo es igual al producto del escalar (en valor absoluto) por el módulo del vector original, cuya dirección es la misma que la del vector original, y cuyo sentido es el mismo o el opuesto al del vector original según el escalar sea positivo o negativo, respectivamente.

actividad.

sean los vectores 

a, b, c con la misma magnitud a hacia el este , b hacia  noreste y c hacia el norte.

hallar

R= a -2b +c

R= a + b

R= a -2c

R = 2a -2b

R = 3c -a

actividad: representa gráficamente los vectores en 3d

A= (5i + 2j + 3k)
B = (6j+ j + 3k)
C= (-5i +2j -3k)
D= (-2i -3j + k)