LÓGICA Y CONJUNTOS de Jose Ojeda
= V Representa que el auto puede encender.
La
Disyunción Inclusiva
La Negación es una
proposición simple, que resulta de contradecir el sentido de verdad de dicha
proposición. Su símbolo: “
, ~”
La Condicional es una proposición compuesta falsa, si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos la
proposición es verdadera.
CONECTIVOS LOGICOS
CONJUNCION
La conjunción es una proposición
compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “y”. Símbolo: “
“
“
Enunciado
compuesto:
Significado:
“y”,…”pero”….,…”aunque”…
Ejemplo:
“El
automóvil enciende cuando tiene gasolina y tiene corriente la batería”
p : El
automóvil enciende cuando tiene gasolina.
q : El automóvil enciende cuando tiene
corriente.
Se
representa
La
tabla de verdad es:
p
|
q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Según
esto:
p : V
Significa que el auto tiene gasolina en el tanque
q : V
Significa que la batería tiene corriente
= V Representa que el auto puede encender.
Si p o q tiene como valor de verdad F
implica que no tiene gasolina en el tanque o no tiene energía la batería y que
por lo tanto no puede encender.
Conclusión:
Una
conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son
verdaderas.
DISYUNCIÓN
La disyunción es una proposición
compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Se
clasifica en DISYUNCIÓN INCLUSIVA y DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
DISYUNCION INCLUSIVA
La disyunción Inclusiva es una proposición
compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Su
símbolo: “
”
”
Enunciado
compuesto: “
”
”
Significado
“…
…, …u….”
…, …u….”
Con este conector se obtiene un valor
de verdad V cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera.
Ejemplo:
“Una
persona puede entrar al teatro si compra el boleto u obtiene una invitación
gratuita”
p : Una
persona entra al teatro si compra el boleto.
q : Una
persona entra al teatro si obtiene una invitación gratuita.
Se
representa .
.
La
tabla de verdad es:
p
|
q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
La única forma en la que no puede
ingresar al teatro (=F), es que no compre su boleta (p=F) y que no obtenga una
invitación gratuita (q =F)
=F), es que no compre su boleta (p=F) y que no obtenga una
invitación gratuita (q =F)
Conclusión:
NEGACION
, ~”
Su
enunciado compuesto: “
, ~p”
, ~p”
Su
significado: “No, no es cierto que…, ni”
Su función es negar los enunciados o
proposiciones, esto significa que si alguna proposición es verdadera y se
aplica el operador su negación es Falso.
Ejemplo:
p : Hoy
esta lloviendo. Su negación: ~p
: Hoy no esta lloviendo
La
tabla de verdad es:
p
|
~p
|
V
|
F
|
F
|
V
|
CONDICIONAL O
IMPLICACION
Una condicional es una proposición de
la forma “Si p entonces q”, donde “p es una condición suficiente para que
q se cumpla”. Su símbolo: “
” o “
”
” o “”
Su
enunciado compuesto: 
o 
.
o .
Su
significado: “Si … entonces…”
Una proposición condicional esta
compuesta por dos proposiciones simples: que se llaman 
o Hipótesis y 
o Tesis.
o Hipótesis y o Tesis.
Ejemplo:
Un
candidato a la alcaldía dice:
Si
salgo elegido alcalde, los niños recibirán alimentación gratuita.
p :
Salio elegido alcalde.
q :
Los niños recibirán alimentación gratuita.
Se
representa: 
Su
tabla de verdad es:
p
|
Q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
Cuando p=V significa que salio
elegido, y q =V significa que los niños recibirán alimentación gratuita, por
tanto =V y el candidato cumplió su palabra.
=V y el candidato cumplió su palabra.
Cuando p=V y q =F significa que =F, el candidato no cumplió por que fue elegido y no le dio
alimentación gratuita a los niños.
=F, el candidato no cumplió por que fue elegido y no le dio
alimentación gratuita a los niños.
Cuando p=F y q =V significa que aunque
el candidato no fue elegido le dio alimentación gratuita a los niños, por tanto
=V
=V
Conclusión:
BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACION
Una Bicondicional es una proposición
donde “p es una condición necesaria y suficiente para q”. Su símbolo: 
o 
.
o .
Su
enunciado compuesto: 
Su
significado: “…si y sólo si…“
Sea proposición bicondicional 
Y se puede expresar: 
. Esto significa que p
es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es.
Y se puede expresar: . Esto significa que p
es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es.
Ejemplo:
Apruebas
la asignatura, si y solo si entrega las actividades escolares.
p
: Apruebas la asignatura.
q
: Entrega las actividades escolares.
Se
representa: 
Su
tabla de verdad es:
p
|
Q
|
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
Conclusión:
Las
proposiciones condicionales solamente son verdaderas si tanto p como q son
falsas o verdaderas.
RESUMEN
Recuerde
que:
Una proposición es un enunciado del
que se puede decir que es verdadero o falso.
El valor de verdad de una proposición
es la veracidad o falsedad de está.
Una proposición compuesta, son dos
proposiciones unidas mediante unos símbolos denominados conectivos lógicos.
La siguiente tabla muestra los
diferentes conectivos de la lógica proposicional con su respectivo nombre,
símbolo, notación y lectura.
NOMBRE
|
SÍMBOLO
|
NOTACÍÓN
|
LECTURA
|
CONJUNCIÓN
|
Ù
|
|
p y q
|
DISYUNCIÓN
|
Ú
|
|
p o q
|
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
|
Ú
|
|
p o q
, pero no ambas
|
IMPLICACIÓN
CONDICIONAL
|
Þ
|
 |
p implica
q
Si p
entonces q
|
DOBLE IMPLICACIÓN
EQUIVALENCIA
BICONDICIONAL
|
Û
|
|
p si y sólo si q
p es equivalente a q
|
NEGACIÓN
|
Ø
|
 |
No p; es falso que p
|
La siguiente tabla muestra los valores
de verdad de las proposiciones compuestas para cada uno de los diferentes
conectivos.
p
|
q
|
|
|
|
|
|
|
 |
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
V
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V
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F
|
F
|
F
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V
|
F
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V
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F
|
V
|
V
|
V
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F
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V
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F
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F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
V
|
1.4. TABLAS
DE VERDAD.
Teniendo en cuenta que la forma
correcta de escribir una variable proposicional es la sintaxis y la semántica
es lo que significa. En la lógica una variable proposicional une solamente dos
valores de verdad V o F.
Para determinar de una Variable
Proposicional, debemos seguir las reglas que se dieron en el tema conectores.
Esto se hace mediante interpretación que son un conjunto de valores que se
asignan a sus proposiciones simples o atómicas.
Al realizar la interpretación de
Variable Proposicional se obtiene un valor de verdad V o F. Cada tabla tiene un
número de interpretaciones que aparezcan en la familia.
El criterio para determinar cuántas
interpretaciones posibles hay, tiene una formula 
donde 
es el numero de proposiciones simples.
donde es el numero de proposiciones simples.
Así la tabla de verdad de una fórmula
que tenga 2 variables tendrá 
filas, una que tenga 3,
, etc.
filas, una que tenga 3,, etc.
Luego de calcular el número de filas
se procede de la siguiente manera:
La columna 1 corresponde a la
asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las V o
F que aparecen en la formula.
Calculo del valor de verdad de la
negación de las V o F.
Calculo de los conectores binarios que
afectan a los resultados del paso anterior o a negaciones.
Se calculan todos los conectivos
binarios hasta llegar al conector principal.
El resultado de la tabla aparece
reflejado en la ultima columna donde este el conector principal.
Ejemplo 1:
Construcción de tabla de verdad 
Esta proposición compuesta tiene 2
proposiciones simples, por tanto
 |
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V
|
V
|
F
|
F
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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F
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V
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F
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F
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V
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V
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F
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V
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F
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F
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F
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F
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V
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V
|
V
|
V
|
V
|
Ejemplo
2:
La
proposición compuesta tiene las proposiciones simples P, Q, R por tanto
|
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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F
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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V
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V
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F
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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F
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V
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F
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V
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F
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F
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V
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F
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F
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V
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V
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V
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F
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F
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V
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F
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F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
El resultado de la tabla de verdad de
una formula es la última columna. En este resultado pueden ocurrir tres casos:
Que
el resultado final de la tabla solo arroja signos V.
El
resultado final de la tabla solo arroja signos F.
El
resultado final presenta signos de V y signos de F indistintamente.
Se
dice que es:
TAUTOLOGÍA:
Si
y solo si su valor de verdad es siempre V, para toda interpretación posible.
Esto significa que el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final.
CONTRADICCIÓN:
Si
la tabla de verdad arroja solamente F.
CONTINGENCIA:
Si
y solo si su valor de verdad es falso para al menos una interpretación y V para
al menos otra.
actividades
Halle el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
a).-
Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur.
b).-Si 2
> 1 , entonces 3 > 2
ó 21 < 5
c).- 24 es un número par y 42 es un número impar
d)
Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile.
2.- Formalice las
siguientes proposiciones
a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine
b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el
futuro
c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y
tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia
d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien
con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo"
e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he
descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no
trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia
f) Si te cuesta entender las cosas , pero te
esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes
g).-Estudio
Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio
Aritmética
h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia
entonces trabaja . En consecuencia , Roxana no trabaja.
i) hoy
no es lunes
4.- Clasifique como
tautología, contradicción y
contingencia.
a)[(pΛ
q) → q ] v p d) ˜(p v q) Λ p
b)
(p→q) v p
e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q
c)
p→(pΛq) f) ˜p
v ˜( p v q )
5.- Si p
y q son proposiciones falsa y
verdadera respectivamente , halle el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a)
p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q )
b)
( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
5.- Formaliza los
siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o
indeterminaciones(contingencias)?
a).Si
tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo
razón.
Por tanto, no estoy loco.
b).Si
tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo
razón.
Por tanto, no tengo razón.
c.)A
menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar
Equivocado.
Por tanto, estoy equivocado.
d).Si
tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si
Tú
eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo
Tiempo.
e)
Si la prima de Mayra no quiere cenar,
entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan torta. La prima de
Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta.
1. determina si los siguientes enunciados son Proposiciónes.
I) 35 – 17
= 18 (…………….) II)
2 + 5
> 3 (…………….)
III) ¿Estudias Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….)
V) ¡Eres grande
Perú! (………… ..) VI)
27 - x =
40 (……………)
2.-
Decir si la siguiente proposición es
tautología, contingencia o contradicción:
4.-
Dada las siguientes premisas:
p:
Hoy es feriado
q:
Mañana es día laborable
r:
Voy a clase
Formaliza
la proposición: “No es verdad que, Hoy sea
feriado y que no asista a clase.
Por lo tanto voy a clase.
5.-Si
la proposición: , es falsa indicar el
valor de verdad de la proposición:
, es falsa indicar el
valor de verdad de la proposición:
6.-A
menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado. Por tanto,
estoy equivocado
Cual es la solución del taller ?
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