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movimiento parabolico

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Un cuerpo posee movimiento parabólico, cuando al lanzarlo con cierto ángulo respecto de la 
horizontal, la curva que describe es una parábola.

En el movimiento parabólico, también se cumple el principio de independencia de los movimientos, 
puesto que el cuerpo se ve sometido a dos movimientos simultáneamente: Un movimiento con 
velocidad constante en la dirección horizontal (MU) y Un movimiento con aceleración constante 
en la dirección vertical debido a la aceleración de la gravedad (MUA).

Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o cualquier objeto lanzado
 al aire) ha observado el movimiento parabólico o de proyectiles, en el que la pelota u objeto 
lanzado, se va desplazando en los 2 sentidos X y Y. Ver figura.


 
Donde:

Vix = velocidad inicial en el eje x
Viy = velocidad inicial en el eje y
Vi = velocidad inicial
Ymax = altura máxima que alcanza el cuerpo
Xmax = Espacio horizontal máximo que alcanza el cuerpo.
ts = tiempo que tarda subiendo
tb = tiempo que tarda bajando
tv = tiempo de vuelo
Θ = ángulo de tiro de proyectil


Esta forma muy común de movimiento, es  simple de analizar si se tiene en cuenta las 
siguientes observaciones:

·         Condiciones iniciales: ángulo de tiro entre 0º y  90º y Vi es diferente de cero.
·         La velocidad del movimiento tiene componentes vertical y horizontal.
·         La velocidad horizontal (Vx), es siempre constante.
·         La velocidad vertical (Vy),  disminuye mientras el cuerpo sube y  aumenta cuando baja y es 
igual a cero en el punto de máxima altura.
·         El tiempo se subida, es igual al tiempo de bajada.
·         La aceleración es constante en todo el  movimiento y está dirigida hacia abajo, debido a la
 gravedad.
·         El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse.
·         El máximo alcance se obtiene al lanzar el cuerpo con un ángulo de 45º.
·         Para ángulos complementarios 30º y 60º; 20º y 70º, etc, con la misma velocidad inicial, los 
alcances son iguales.

3.1    ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO.

Si elegimos un sistema de coordenadas tal que la dirección y apunte en dirección vertical y positiva 
hacia arriba, entonces ay = -g, y ax = 0. Supóngase también que en t = 0, el proyectil parte del 
origen con  una velocidad inicial  VI, Además, el vector velocidad inicial VI,  forma un ángulo θ 
con la horizontal, de acuerdo a lo anterior, las ecuaciones cinemáticas del movimiento son:

En la dirección del eje horizontal (x): El movimiento es uniforme M.U

Algunas preguntas que se pueden formular en el  Movimiento Parabólico (MP), son:

¿Cuál es la trayectoria del proyectil?
Si de la ecuaciones de posición X, despejamos el tiempo ( t ),  se tiene:
 luego si remplazamos esta expresión en la ecuación de posición Y, obtenemos:

 

¿Cuál es la Velocidad del proyectil en un momento dado y cuál es su dirección?

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que la magnitud de la velocidad, es:
Y su dirección es:    


El sentido del vector velocidad, se da en el mismo sentido del movimiento.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

La altura máxima, sucede cuando la velocidad vertical, se anula, es decir cuando Vy = 0, luego:


despejando el tiempo, queda: 
 
 Remplazando esta expresión en la ecuación de posición Y, obtenemos:

¿Cuál es el alcance del proyectil?

Es el valor de x, cuando el proyectil llega al suelo, es decir, para cuando y=0; remplazando en 
la ecuación de posición a ypor 0, nos da:
 luego si sacamos como factor común a t, tenemos:

Despejando de la expresión al tiempo (t), tenemos:

Que es el tiempo de vuelo (tv). Si remplazamos esta expresión en la ecuación de posición X, 
que llamaremos ahora el alcance del proyectil en la dirección x, obtenemos:

¿Para qué valor del ángulo inicial, el alcance del proyectil es máximo?

En el grafico adjunto, se puede observar que el alcance del proyectil es maximo, para cuando el ángulo de inclinación inicial es 
de 45º, respecto de la horizontal.


EJEMPLO 1: Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 360m/s y un ángulo de 
inclinación de 30º. Calcule:

a.       La altura máxima que alcanza el proyectil
b.       El tiempo que dura el proyectil en el aire
c.       El alcance horizontal del proyectil

Solución:




EJEMPLO 2: En un juego de béisbol se batea al nivel del suelo una bola, con una velocidad de 
20m/s y un ángulo, respecto a la horizontal, de 37º.

  1. Escriba las ecuaciones cinemáticas del movimiento
  2. ¿Cuanto tarda la pelota para llegar al suelo?
  3. ¿A qué distancia del bateador cae la pelota?
  4. Si a una distancia de 32m se encuentra una Paret de 6m de altura ¿podrá la bola pasar
  5.   la pared?

EJEMPLO 3: Se lanza un proyectil con un ángulo de 37º. En el punto más alto de su trayectoria tiene
 una velocidad de 16m/s.

  1. Cuál son las componentes de su velocidad inicial
  2. Escriba las ecuaciones cinemáticas del movimiento
  3. Determina la altura  y la velocidad resultante de la pelota después de 5s
  4. ¿Cuál es la altura del punto más alto de su trayectoria?
  5. ¿Cuál es su alcance horizontal?

MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO

Un cuerpo adquiere un movimiento semiparabólico, cuando al lanzarlo horizontalmente desde cierta
 altura, describe una trayectoria  semiparábolica.

Cuando un cuerpo describe un movimiento semiparabólico, en él se están dando dos 
movimientos simultáneamente: un movimiento horizontal, que es rectilíneo uniforme y 
uno vertical en el que actúa la gravedad, llamado movimiento rectilíneo uniformemente 
acelerado. Ver figura.

Del movimiento semiparabólico, podemos anotar las siguientes características:

  • Los cuerpos se lanzan horizontalmente desde cierta altura y con una velocidad  inicial (Vi).
  • La trayectoria del movimiento es parabólica
  • El movimiento en x es independiente del movimiento en y
  • El movimiento en x es uniforme (no actúa la aceleración), o sea la velocidad horizontal se mantiene constante.
  • El movimiento en y es acelerado (Actúa la  aceleración de la gravedad), es decir que la velocidad vertical aumenta al transcurrir el tiempo.
  • El tiempo de caída es la variable que relaciona a los 2 movimientos (MU y MUA)
2.1         ECUACIONES DEL MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO.

En el eje horizontal (x):
























EJEMPLO 1: Una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 30m con una velocidad 
inicial de 80m/s. calcular:

  1. El tiempo que dura la esfera en el aire.
  2. El alcance horizontal de la esfera.
  3. La velocidad con que la esfera llega al suelo.

Solución:



    







































EJEMPLO 2: Desde un avión de guerra que viaja con una velocidad horizontal de 420km/h, a una 
altura de 3500m, se suelta una bomba con el fin de explotar un campamento militar que está situado
 en la superficie de la tierra. ¿Cuántos metros antes de llegar al punto exacto del campamento, 
debe ser soltada la bomba para dar con el blanco?


EJEMPLO 3: Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1.25m de altura, si cae al suelo 
en un punto situado a 1.5m del pie de la mesa. ¿Qué velocidad llevaba la pelota al salir de la mesa?

EJEMPLO 4: Una bala de cañón se dispara horizontalmente con una velocidad de 120m/s, desde lo 
alto de un acantilado de 250m de altura, sobre el nivel de un lago, tal como se muestra en la figura.

  1. Que tiempo tarda la bala en caer al agua
  2. Cuál será la distancia horizontal que alcanza la bala
  3. Que distancia horizontal ha alcanzado la bala al cabo de 5s.
  4. Que distancia ha descendido la bala al cabo de 5s.
  5. Respecto del punto de lanzamiento, que coordenadas tendrá la bala, después de 5s.
tomado de: http://wwwmisguiasdematematicas.blogspot.com.co



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